Walsh rendszerekre vonatkozó Fourier-sorok konvergencia kérdéseivel kapcsolatos kutatások

Az approximációelmélet ma a világon az egyik legismertebb és legnépszerűbb kutatási téma. Már a rendszere bevezetésekor Walsh felfigyelt arra a nagymértékű hasonlóságra, ami a Walsh-rendszer és a trigonometrikus rendszer között létezik. Ekkor a Walsh függvényeket még a [0,1] intervallumon értelmezték. A hasonlóság akkor vált egyértelművé, amikor Fine a diadikus csoporton reprezentálta a Walsh függvényeket és így a két elmélet egy egységes elméletnek a Fourier-elméletnek a részévé váltak. A diadikus csoport a legegyszerűbb, de nem triviális modell véges csoportok teljes direkt szorzatára. Ha a diadikus csoportok karaktereit Paley elrendezés szerint ábrázoljuk, a Walsh-Paley rendszert kapjuk. Más típusú, a gyakorlatban alkalmazott elrendezések is léteznek, mint a kutatócsoportunk által is vizsgált Kaczmarz -féle elrendezés.

Minden a diadikus analízisben tevékenykedő fiatal kutató a Walsh-rendszer tanulmányozásával kezdi munkáját, hiszen ez a legegyszerűbb „diszkrét” ortonormált rendszer, és mégis az egyszerűségében rejlik a széles alkalmazási területe. Több olyan kérdést találunk a Walsh-rendszerrel kapcsolatban, ami megoldásra, válaszra vár. Ezek közül említenénk a különféle összegzési eljárásokhoz tartozó maximál operátorok korlátosságainak vizsgálatát, illetve az olyan helyreállító módszerek tanulmányozását, amelyekkel a Fourier-sor részletösszegének egy megmaradt részletéből minél több információt tudunk kikövetkeztetni az eredeti függvényről.

Approximációs kérdések vizsgálata Vilenkin csoportokon

A diadikus analízis elmélete tovább gazdagodott Vilenkin munkássága nyomán, amikor a Walsh-Paley rendszert 1947-ben általánosította. Ő a teljes karakterrendszert használta már tetszőleges, ciklikus csoportok teljes direkt szorzata esetén, ily módon kapta meg az úgy nevezett kommutatív esetet. A Vilenkin rendszer vizsgálatakor, a Walsh-Paley rendszer általánosítása révén, hasonló kérdéseket fogalmazunk meg, mint a diadikus csoportnál. Azonban, ha a struktúrában szereplő ciklikus csoportok rendjei nem korlátosak, akkor sokkal nehezebb egy állítást igazolni (már, ha igaz egyáltalán), mint ugyanazt a korlátos esetben, és ez nagyban megszabja a szóban forgó Vilenkin rendszerre vonatkozó eredmények természetét, a bizonyítások jellegét, nehézségét. Sokszor lényegesen finomabb technikákra, ötletekre van szükség.

Egy jellemző példán keresztül szeretnénk megvilágítani ezt. Jól ismert tény a trigonometrikus, a Walsh-Paley, illetve a korlátos Vilenkin esetben, hogy a Fejér-féle magfüggvények L1 normái egyenletesen korlátosak. Ez azonban nem igaz nem korlátos Vilenkin csoportokon. Price igazolta, hogy nem igaz a Fejér tétel, azaz nem igaz, hogy bármely folytonos függvény Fejér közepei egyenletesen a függvényhez konvergálnának. Nem korlátos Vilenkin csoporton a Fejér közepek majdnem mindenütt való konvergenciája (tetszőleges integrálható függvény esetén) a diadikus harmonikus analízis egyik legnagyobb nyitott problémája. Gát Györgynek ezzel kapcsolatban három cikke jelent meg. Ugyancsak érdekes, hogy míg a már klasszikusnak számító Carleson tétel bizonyított trigonometrikus, a Walsh-Paley, Walsh-Kaczmarz, korlátos Vilenkin esetben, addig a nemkorlátos Vilenkin eset a téma legnagyobb nyitott problémája, máig eldöntetlen.

Reprezentatív szorzatrendszerekre vonatkozó Fourier sorok konvergencia kérdései

Az absztrakt harmonikus analízis elmélete nagyon sokat fejlődött az utóbbi évtizedekben. Egyre több matematikus azt a szemléletet támogatja, hogy a megfelelő környezet a Fourier-analízis fejlődéséhez a lokálisan kompakt csoportok osztályán keresendő. A Fourier-sorok és -integrálok klasszikus elméletétől kiindulva, az a relatív könnyedség, ahogyan az alapfogalmak és tételek átvihetők az általános elmélet környezetébe, már nem működik nem kommutatív esetben. Például, jól ismert tény, hogy a Riemann-Lebesgue lemma nem igaz nem kommutatív esetben. Ezért itt új módszerek kidolgozása szükséges az eredmények eléréséhez.

A reprezentatív szorzatrendszerek a Vilenkin-rendszerek általánosítása olyan véges csoportok teljes direkt szorzatán, ahol a szorzatban szereplő véges csoportok nem feltétlenül kommutatívak. A reprezentatív szorzatrendszerek tulajdonságai nagyon eltérhetnek a Walsh-Paley és Vilenkin- rendszerektől, pl. olyan nem egyenletesen korlátos rendszereket kaphatunk, amelyek több helyen felvehetik a 0 értéket. Ezért a kommutatív elmélettől eltérő eredményeket is kapunk. Például: vannak olyan reprezentatív szorzatrendszerek, hogy az ezekből elkészített Fourier sor nem konvergál a függvényhez Lp-normában, minden p>1 szám esetén.

A reprezentatív szorzatrendszereken vett Lp-normában és pontonkénti konvergenciát a kutatócsoportban dolgozó Dr. Gát György és Dr. Toledo Rodolfo vizsgálta először:

Gát György és Toledo Rodolfo, Lp-norm convergence of series in compact totally disconected groups, Anal. Math., (22)13-24, 1996.

Számos új és releváns eredményt kaptak ezen a területen. Például ők igazolták, hogy bár a Fourier-sor konvergenciája nem feltétlenül igaz, de teljesül a Fejér-közepek Lp-normában való konvergenciája korlátos esetben, minden p>1 szám esetén.

Többváltozós struktúrákon értelmezett Fourier sorok vizsgálata

A több-dimenziós eset az, amikor egy diadikus csoport helyett több diadikus csoport direkt szorzatán értelmezzük a függvényeket. A kétdimenziós eset fontos szerepet játszik a képfeldolgozásban, hiszen ilyen a grafikus képábrázolás.

Az egydimenziós esetben tárgyalt szummációs eljárások, Fejér-közepek, Cesàro-közepek, logaritmikus közepek, Nörlund logaritmikus közepek két vagy több-dimenzióban való tárgyalása két irányban is lehetséges. Az egyik a jól ismert általános módszer, amikor a magasabb dimenziójú magfüggvény az egydimenziós magfüggvények szorzata lesz, ezt nevezzük általános kétdimenziós középnek. A másik eset az amikor a szummációban szereplő egydimenziós Fourier-részletösszegeket kicseréljük kettő vagy magasabb dimenziójú kvadratikus részletösszegekre. Ez utóbbi szummációs eljárás Marcinkiewicztől származik, ilyenkor beszélünk Marcinkiewicz-Fejér-középről, Marcinkiewicz- Cesàro-középről, stb.

A kutatócsoportunk számos új és releváns eredményt ért el ezen a területen. Walsh-Marcinkiewicz-középek maximálfüggvényeit Weisz Ferenc és Ushangi Goginava vizsgálta, Vilenkin rendszer esetén ezeket a vizsgalatokat Gát György végezte el. A Walsh rendszer egyik nevezetes átrendezése, az ú.n. Walsh-Kaczmarz-rendszer, az erre vonatkozó Fourier-sor Marcinkiewicz-középeinek maximálfüggvényét Nagy Károly, Gát György és Ushangi Goginava több nemzetközi folyóiratban megjelent cikkben tárgyalta, más-más aspektusból.

Gyors és párhuzamos Walsh és Walsh-szerű transzformációs algoritmusok kidolgozása

Már az eredeti Walsh-rendszer definícióját is alkalmazási szempontok motiválták. Nevezetesen, Walsh olyan csak +1, -1 értékeket felvevő teljes ortonormált rendszert akart konstruálni, ami bizonyos tulajdonságaiban hasonló a trigonometrikus rendszerhez. A fogalom sikerét az azóta elért számos elméleti eredmény és gyakorlati alkalmazás bizonyítja. A Walsh rendszer alkalmazhatósága jó néhány terülten, pl. jeltömörítés, rendszerelmélet, információ átvitel, kódolás, logikai áramkörök, beigazolódott. Ezeknek a története a múlt század 60-as éveire nyúlik vissza. Elég csak Henning F. Harmuth úttörő szerepére utalni a vezeték nélküli kommunikáció, kódolás, több csatornás átviteli rendszerek tekintetében. Nevéhez több mint 150 publikáció, mintegy 30 szabadalom, 15 könyv fűződik. „Transmission of Information by Orthogonal Functions", "Sequency Theory - Foundations and Applications”, "Nonsinusoidal Waves for Radar and Radio Communication and "Antennas and Waveguides for Nonsinusoidal Waves". (ld. http://www.emph.com.ua/18/meffert_01.htm)

A rendszerelméleti és kriptográfiai alkalmazások területén Franz Pichler (Walsh Functions: Early ideas on their application in signal processing and communication engineering, (ld. http://ticsp.cs.tut.fi/images/a/a5/Cr1050-wien.pdf); "Walsh-Fourier Analysis of boolean Combiners in Cryptography" , "Construction of dissipative dynamical system in the sense of Prigogine using Gibbs derivates", (http://www.cast.uni-linz.ac.at/Department/Publications/2007/public2007.htm) szerepét kell kiemelni. Többek között kettejük és mások munkásságának köszönhetően a Walsh rendszer és az általa generált diadikus analízis általánosan elfogadott eszköz és módszer az alkalmazások széles területén.

Veszteséges tömörítő, adattovábbító algoritmusok kidolgozása és párhuzamosítása

Megemlítjük még, hogy a Walsh-rendszer a manapság divatos wavelet transzformációkkal is kapcsolatban van, mint az úgynevezett wavelet packet-ek legegyszerűbb modellje. Kiemelnénk a Walsh-rendszernek azt a tulajdonságát, hogy konstrukciója miatt eleve „diszkretizált”, azaz a digitális modellnek felel meg. Ez alkalmassá teszi arra is, hogy veszteséges tömörítő és adattovábbító algoritmusok kidolgozása alapuljon rajta. Az alapgondolat az, hogy ha van egy adott jelforrás, amely mondjuk vagy azért mert a mérete túl nagy, vagy azért mert a továbbítás sebessége csak a meglévőnél kisebb méretet tesz lehetővé, akkor meg kell oldani azt, hogy a jelforrásból kisebb méretű adathalmazt készítsünk úgy, hogy egyrészt ez a „készítés” kellően gyors legyen, másrészt pedig úgy, hogy ez az átalakítás rekonstruálható legyen. Azaz visszaalakítható legyen, legalábbis olyan mértékben, hogy az eredeti jelforrás információ tartalma a kellő minőségben kinyerhető legyen. Erre egy lehetséges elképzelés az, hogy a digitális jelforrás Walsh transzformáltjának egyszerűen csak egy részét tartjuk meg (illetve továbbítjuk), majd a visszaállítás során egy inverz transzformációval ezt a „hézagos” „veszteséget szenvedett” adathalmazból állítjuk helyre az eredeti jelforrást. A fő kérdés az, hogy mi legyen az a „kis rész”, amit megtartunk, illetve továbbítunk, amely kellően kicsi ahhoz, hogy sokkal kevesebb helyet foglaljon, és kellően nagy ahhoz, hogy a helyreállítás kellő minőségben elvégezhető legyen.

Egy fontos alapkérdés az is, hogy ha „nagy méretű jelforrást” vagy „nagy mennyiségű adathalmazt” kell transzformálni, akkor hogyan, milyen módon lehet időt megtakarítani. Itt két lehetőség van. Az egyik, amit vizsgálni szeretnénk Walsh-jellegű rendszerek esetében, hogy hogyan lehet az úgynevezett hagyományos mátrix szorzás módszernél hatékonyabban elvégezni a transzformációs algoritmust. Ezt nevezik gyors algoritmusnak. Ha a bevitt adat mennyisége n, akkor a hagyományos eljárások n2 míg a gyors algoritmusok n*log(n) számú műveletet igényelnek. Ugyanígy a másik módszer is, amely azon az elven alapszik, hogy a transzformációs feladat végrehajtására kidolgozunk olyan, szintén a transzformációt végző algoritmust, amely a végrehajtást azzal kezdi, hogy a feladatot szétdarabolja több kisebb ugyanolyan típusú transzformációs feladattá, majd ezeket egyszerre végzi el a rendelkezésre álló több processzoron. Ezután „összefűzve” a „kisebb” transzformációk eredményeit adódik az eredeti transzformációs feladat végrehajtása. Ezt az eljárást hívják párhuzamosításnak. Egyik módszer sincs kidolgozva Walsh-jellegű vagy Vilenkin rendszerek esetében.

A diadikus derivált és alkalmazásai

A diadikus analízis egyik alapvető operátora, elemző eszköze az úgynevezett diadikus derivált. A klasszikus „évszázados” matematikában jól ismert a hagyományos derivált fogalmának kiemelkedő szerepe. Az egyik legnagyszerűbb találmánya a matematikának Newton óta. Az analóg jelek kutatásában is meglehetősen nagy szerepet játszott a hagyományos (már a középiskolában is tanított) derivált. Ennek egyik alapvető oka az volt, hogy az analóg jelek feldolgozásában meghatározó trigonometrikus rendszer elemeinek, a trigonometrikus függvényeknek a deriválás sajátoperátora. Modern világunkban az analóg jelek vizsgálata mellett már meghatározó a digitális jelek analízisének szükségessége.

Ebből a szempontból meghatározóan fontosnak tartjuk a diadikus derivált jel- és képfeldolgozásbeli alkalmazási lehetőségeinek a vizsgálatát. A diadikus deriváltnak a Walsh-függvények a sajátfüggvényei úgy, ahogy a klasszikus deriváltnak a komplex trigonometrikus függvények, ezért ahhoz hasonlóan alkalmazhatók a jelben fellépő hirtelen változások detektálására, és ezáltal például szegmentálásra. Lényegi különbség azonban, hogy a klasszikus deriválttól eltérően a diadikus derivált nem lokális operátor, viszont a digitális jelek vizsgálatára alkalmazott Walsh függvények, Walsh sorok és transzformációk esetében a hagyományos derivált teljességgel használhatatlan, mert az egyes Walsh függvények lokálisan állandó lévén a hagyományos deriváltjuk az azonosan nulla függvény, már ahol egyáltalán értelmezve van. Ezért van szükség a diadikus deriváltakra. Illetve ahogy a Walsh rendszer esetében a Walsh rendszer általánosításai az úgynevezett Vilenkin rendszerek, így adódnak más derivált fogalmak is, melyek a diadikus deriváltból származnak.

Külön kiemelnénk, hogy az úgynevezett kétváltozós függvények terében a diadikus derivált alaptételét Gát György igazolta:

Gát György, On the two-dimensional pointwise dyadic calculus, Journal of Approximation Theory, 92 (2) (1998), 191-215

cikkében, az úgynevezett korlátos Vilenkin rendszerekre vonatkozó alaptételt pedig Gát György és Nagy Károly:

Gát György és Nagy Károly, The fundamental theorem of two-paremeter pointwise derivate on Vilenkin groups, Analysis Math. 25 (1999), 33-55.

Walsh-transzformáció alkalmazása orvosdiagnosztikai eljárásokban

A WHO megbetegedési és halálozási statisztikáiban a daganatos megbetegedések vezető helyet foglalnak el. Az Egészségügyi Világszervezet prognózisa alapján 2035-re a Föld lakosságának majdnem 50%-át érinteni fogja ezen megbetegedés. A hazai adatok is elég riasztóak. Az onkológiai betegségek mortalitása a szív-érrendszeri megbetegedések utáni második helyen áll. A daganatos betegségek kezelhetőségét, kimenetelét alapvetően befolyásolja a korán felállított diagnózis, a korrekt onkoterápia kidolgozása (műtét, kemoterápia, sugárkezelés), valamint a nyomon követés (a betegség kiújulásának korai kimutathatósága). Ezen előbb felsorolt tényezők befolyásolják a daganatmentes, és a teljes túlélési időt. Az onkológiai betegségek mind inkább krónikussá válása hosszú távú túlélést tesz lehetővé. A rosszindulatú daganatos megbetegedések gyakoriságának növekedése, ill. a hatékonyabb gyógymódok megjelenése eredményezik, hogy egyre több tumoros beteg él hosszabb ideig. A betegek túlélését az adekvát kezelés, életminőségüket pedig a daganatos folyamat következményei, valamint az alkalmazott kezelés hatására kialakuló szövődmények befolyásolják.

A daganatokról azonban tudnunk kell, hogy individuálisak, azaz bizonyos szinten az egyénre jellemzőek. Szövettanilag tudjuk osztályozni, stádium szerint TNM rendszerbe sorolni, de még két ember azonos típusú, stádiumú daganata sem viselkedik ugyanúgy (más a lefolyása, az onkoterápiára való érzékenysége, kimenetele). Kicsit sarkítva a problémakört, a daganatok „ujjlenyomatszerűen” viselkednek, arra az egyénre jellemzőek, amelyből kiindulnak. Ezért nagyon fontos az adott individuumra jellemző daganatos struktúra megismerése (nagyság, erezettség, terápiákra való reagálás képessége), valamint kapcsolódási pontok keresése azonos szövettani és képalkotón megjelenő struktúrák között, elősegítve a korrekt diagnózis felállítását, valamint a terápia tervezhetőségét. Ugyanis az első megtett lépések azok, amelyek alapvetően meghatározzák a túlélési esélyeket.

A program célja olyan módszerek, algoritmusok kidolgozása, esetleg ezek elérését célzó elméleti eredmények, amely majd későbbi kutatások során lehetővé teszi új orvosi szoftver kifejlesztését, a kóros és az ép struktúra közötti differenciálást, a daganatos megbetegedések diagnosztikáját, az onkoterápia, és a tünetmentessé vált betegek monitorizálását a modern digitális jelfeldolgozó technika segítségével. Így a legkülönbözőbb tumorentitások kezelése személyre szabható és gazdaságosabbá tehető.

Hálózati forgalom informatikai biztonsági célú elemzés támogatása

A program célja az informatikai rendszerekben keletkező hálózati forgalom elemzése abból a célból, hogy hálózati forgalomban szabályszerűségek, illetve szabálytalanságok detektálásával automatikus módszerekkel ki lehessen szűrni különböző biztonságot veszélyeztető tevékenységeket, például: vírus-, trójai- tevékenység, adatlopás, és hasonló illegitim tevékenységek.

Az informatikai rendszerekben bizonyos események szabályszerűen történnek. Ilyen rendszeresség például egy tűzfal esetében, hogy munkaidő/ebédidő kezdetekor megnő bizonyos weblapok látogatottsága. Ezen szabályszerűségek megfigyelésével és észlelésével – feltételezésünk szerint – kiszűrhetők bizonyos támadások, problémák, illetve egy rendszer különböző paramétereinek változásának összevetéséből is levonhatók a rendszer jövőbeli működésére vonatkozó következtetések. A hatalmas mennyiségű adat feldolgozása reménytelennek tűnik a matematika idevágó fejezeteinek alkalmazása nélkül. Kutatásaink során a forgalom szűrésére, a jellemző motívumok kiválasztására a hasonló szituációkban már nagy sikerrel alkalmazott Walsh-Fourier (esetleg más Fourier) transzformált alkalmazása látszik célszerűnek. Az ilyen jellegű vizsgálatok újnak számítanak a hálózati forgalom elemzésének területén.

Készletgazdálkodási függvények mozgóátlag alapú lineáris és nem-lineáris optimalizációja

A társadalmi, gazdasági, műszaki és más alkalmazási területeteken a prognózis (előrejelzés, makró- és mikrotendenciák) előállításakor gyakran használják az ún. mozgóátlag –féle módszereket. A tervezett alapkutatás célja a mozgóátlag alapú módszerek vizsgálata és megfelelő matematikai apparátus, operációkutatási eszközök (optimalizálási modellek, módszerek, eljárások) további fejlesztése. Ehhez kapcsolódóan a különböző gazdasági egységektől származó nyilvános adatok (teljesítménymutatók, készletek kialakulási adatai, árfolyamok, költségek, BUX index, értékpapírok, stb.) elemzése, a létező előrejelzési és döntéstámogató matematikai apparátus értékelése és javítása.

A mozgóátlag három legismertebb fajtája a következő: egyszerű (vagy aritmetikai), exponenciális, és súlyozott. A módszerek közötti különbség a súlyozásban van, az egyszerű mozgóátlag minden egyes elemet egyforma súllyal vesz figyelembe, az exponenciális és a súlyozott pedig a frissebb adatokat nagyobb súllyal értékeli. Nyilvánvaló, hogy súlyozott módszereknél az egyik legfontosabb kérdés az, hogy a képletben szereplő adatok melyik eleméhez milyen értékű súlyt kell rendelni ahhoz, hogy az ilyen módon kapott átlagérték minél realisztikusabban jelezze a helyzetet és várható trendeket (le- vagy fel). Egyrészt, minél gyorsabban növekszenek a súlyok a legfrissebb adatok irányába haladva, annál nagyobb szerepet kapnak a legfrissebb adatok, és fordítva. Azonban, nem minden folyamathoz tartozó adatsorozat olyan jellegű, hogy kifejezetten a legfrissebb adatoknak van legnagyobb hatása a tendenciák szemszögéből. Ezenkívül, előfordulhatnak olyan „helyes” idősorozatok, amelyekben tényleg a frissebb adatoknak nagyobb a szerepe van, de mégis azok nem „tiszták” (nem „zajmentesek”). Éppen ezért a megfelelő súlyok meghatározása általában nagyon összetett és fontos feladat.

Diadikus és bináris változók használatának vizsgálata a trend-meghatározások területén

A különböző természetű előrejelzések előállításánál használt mozgóátlag-féle súlyozott módszereknél az egyik legfontosabb kérdés a képletben szereplő adatsorozat hosszának helyes kiválasztása. A mozgóátlag számítására használt képletből egyértelműen következik, hogy a mozgó átlagoknak van egy igen lényeges tulajdonsága, mégpedig az, hogy nem lehet minden egyes elemhez mozgóátlagot számítani, így a megfigyelt idősor eleje és vége elvész. Ilyenkor keletkezhet a kérdés – lehet-e meghosszabbítani a vizsgálandó adatsorozatot (legalább visszafelé) és ha igen, akkor meddig érdemes.

Nyilvánvaló, hogy minél jobban növeljük az átlag számításánál a képletben szereplő tagok mennyiségét, annál hosszabb időtartományról szóló és annál „globálisabb” jellegű lesz a kapott trend, és így természetesen a lokális tendenciák felismerése is nehezebb lesz. Másrészt, minél jobban csökkentjük a képletben szereplő tagok mennyiségét, annál rövidebb időtartományról szóló és annál „lokálisabb” jellegű lesz a kapott trend, és így természetesen a globális tendenciák felismerése is egyre nehezebbé válik.

Trend-adatsorok optimális hosszának meghatározása a diadikus analízis segítségével

Az átlag számítására alkalmazott képletben az adatsorozat hosszának helyes kiválasztásától függ az eredmény és ebből kifolyólag az eredmény hasznossága az előrejelzésben.

A terveink és elképzeléseink szerint a mozgóátlag képletében szokásos folytonos jellegű súlyok helyett lehet bevezetni 0/1 bináris, illetve -1/+1 diadikus változókat és utána megfelelő optimum számítási modell segítségével meghatározni olyan súly-rendszert, amely mellett az ilyen módon kapott értékek legjobban leírják a sorozatban észlelhető trendeket (remélhetően nem csak makró-, de mikró- trendeket is).

Kereslet- és készletprognózisok felállítása a kapott algoritmusok alapján

A súlyozott mozgóátlag-féle eljárások számára olyan optimumszámítási modellek, eljárások, módszerek és algoritmusok kidolgozása, amelyek használatával előállíthatunk olyan „realisztikusabb” előrejelzéseket (és ez alapján feltárhatjuk a megfelelő mikro- és makró-trendeket), amelyek egyrészt, zajmentesített adatokon alapszanak, másrészt, nem csak a vizsgálandó adatsorozathoz képest „globális” trendeket hozzák előre, de „előhívják” a lokális tendenciákat is.