Előzmények

Miről is szól a matematika? Mi köze világunkhoz azon túlmenően, hogy – egy elterjedt mondás szerint – Isten kedvenc játéka a matematika? Az emberiség története folyamán, hogy a világ egyes jelenségeit megismerje azok túlzott bonyolultsága miatt modelleket alkotott, melyek már kellően áttekinthetőek lettek ahhoz, hogy a logika, a matematika eszközeivel kielégítően tanulmányozhatóak legyenek. Majd a modellben elért eredmények megvalósulására számított az eredetileg vizsgálni kívánt jelenségek, összefüggések során. A számítástechnika rohamos fejlődése még jobban fokozta a matematika szerepét a mindennapi életünkben. Egyrészt, az új információs-technológiák révén olyan eszközök kerültek a birtokunkba, amivel nagyon hatékonyan tudunk összetett modelleket tesztelni, jellemezni, sőt lehetőséget biztosítanak azok alkalmazására konkrét, valós problémák megoldásában. Másrészt, maga az informatika olyan önálló tudományággá lépett elő, mely óriási alkalmazási területtel rendelkezik, és elméleti háttere matematikai modelleken alapszik.

A hétköznapi életünkben egyre jobban érzékeljük, hogy az információ milyen jelentős értéket képvisel. Köszönhető ez az infokommunikációs technológiák hihetetlenül gyors fejlődésének és integráltabb alkalmazásának, amivel megvalósítható az információ magas szintű rögzítése, gyors és hibamentes továbbítása, kódolása és tárolása. A számítástechnika fejlődése nagy horderejű változásokat hozott az információ tárolásában és feldolgozásában. Az információt digitális formává alakítja át, ami olyan számítási módszereket tett lehetővé, amivel az információ meglehetősen gyorsan elemezhető, szűrhető, tömöríthető és előre jelezhető. Azonban a feldolgozni kívánt információ jellege függ attól, hogy hogyan érzékeljük a körülöttünk levő világot.

Folytonos a világ vagy digitális? A XVIII-XIX. század matematikájának világkép modellje, melyet olyan matematikusok alkottak, mint Isaac Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz, Joseph Louis Lagrange, Carl Weierstrass az úgynevezett folytonos világkép. Makroszkopikus világunkban nagyon sok fizikai mennyiség folytonos értékkészletű, folytonosan változik. Magától értetődően ilyennek – gondoljuk - a hosszúságot, az időt, a sebességet. Ez csak egy modell. A kis távolságok világa nem ilyen. A XX. században „kiderült”, hogy az előző századok modellje „nem elég jó”. Az idő, a távolság nem folytonosan változik, nem igaz az, hogy bármely időintervallumnál, távolságnál van kisebb (de persze nullánál nagyobb). Egy ilyen, a világhoz jobban alkalmazkodó matematikai modellről, a p-adikus számok elméletéről elsőként Kurt Hensel írt 1897-ben. Bármely világképhez tartozó modellben számos – mondhatni a legtöbb jelenséget – függvények írják le. A függvényekkel történő vizsgálatok során mindig is szükség volt és van is a függvények, összefüggések olyan más, egyszerű, jól kezelhető függvényekkel történő közelítésére, leírására, amelyekkel már lehetségesek, könnyebbek a matematikai vizsgálatok. A XVIII-XIX. században elterjedt Fourier elmélet ezt célozta, célozza meg. A klasszikus Fourier elméletben ezek a közelítő egyszerű függvények az úgynevezett trigonometrikus függvények. Ezek alkotják az úgynevezett trigonometrikus rendszert.

A diadikus analízis a trigonometrikus függvények helyett az úgynevezett Walsh függvényeket alkalmazza, melyek csak az 1 és a -1 értékeket veszik fel. Ez a tulajdonság, ami miatt több matematikus a Walsh-rendszert 1923-as bevezetésekor „mesterkélt” ortonormált rendszernek vélt, lehetővé teszi széleskörű alkalmazását a digitális technika világában. Valóban, a Walsh függvényeknek a „történelmi” trigonometrikus függvényekhez képest nagy előnyük, hogy számítógéppel rendkívül hatékonyan lehet meghatározni, hogy mely helyen melyik Walsh függvény melyik értéket veszi fel. Továbbá nem úgy, mint a trigonometrikus függvények esetében, ahol ez csak közelítőleg lehetséges, hanem a Walsh esetben ez az érték pontos is, lévén 1 vagy -1. A Walsh-rendszer vizsgálatához nagy lendületet adott Paley munkássága, amikor igazolta, hogy a Walsh függvények előállnak a Rademacher függvények szorzataként, és olyan rendezést vezetett be, amit azóta a leggyakrabban vizsgáltak, az ún. Walsh-Paley-féle rendezést. Ezután Fine igazolta, hogy a Walsh függvények a diadikus csoporton reprezentálhatók és annak a karakterrendszerének felelnek meg. Ez azt jelentette, hogy a diadikus analízis illeszkedik az absztrakt harmonikus analízis elméletébe, ami lehetőséget biztosított olyan fogalmak, módszerek és eredmények alkalmazására, amelyek már ismertek voltak, illetve lehetővé tette, hogy párhuzamot vonjunk a folytonos és a Walsh függvényeken alapuló digitális modellek között.

Jelenleg a digitális technika szemszögéből a Walsh-rendszer azt a szerepet tölti be, mint az analóg technikában a klasszikus trigonometrikus rendszer. A diadikus analízisben a diadikus csoporton értelmezett függvényekből egy sorozatot készítünk, ún. Fourier-együtthatókat. A Walsh függvényekkel és a hozzájuk tartozó Fourier-együtthatókkal különböző operatorok részlet összegét képezhetjük, amelyekkel meg próbáljuk közelíteni magát a függvényt vagy valamely más számszerűsített tulajdonságát. A digitális jelfeldolgozásban is hasonlóan járunk el, a bemenő jeleket frekvencia-komponensekre bontjuk, ami nem más, mint valamilyen speciális függvénnyel történő szuperpozíciós felírás. A diadikus analízis a Fourier elméletnek az az ága, ahol a Walsh függvényekből, vagy hasonló diszkrét tulajdonságokkal bíró függvényrendszerekből kiindulva készítjük a fenti felbontást és vizsgáljuk a tulajdonságait.

A világ számos egyeteme, kutatóintézete foglalkozik a témával, közöttük van a Nyíregyházi Főiskola Matematika és Informatika Intézetében működő Diadikus Harmonikus Analízis Kutatócsoport. Ez a kutatócsoport már több, mint 20 éve működik Dr. Gát György irányítása alatt és kutatóinak közel 200 publikációja jelent meg ebben a témában különféle vezető matematikai lapokban. Ilyenek például az alábbiak:

• Journal of Approximation Theory
• Studia Mathematica
• Proceedings of American Mathematical Society
• Analysis in Theory and Applications
• Acta Mathematica Sinica (English series)
• Real Analysis Exchange
• Journal of Mathematical Analysis and Applications

Magyarországon az ELTE Numerikus Analízis Tanszékén működik diadikus analízis kutatócsoport Dr. Schipp Ferenc vezetésével, de fontos még megemlíteni a SZTE-n Dr. Móricz Ferenc által vezetett Fourier sorok elméletében dolgozó iskolát, akik szintén publikálnak a Walsh-, Vilenkin-Fourier sorok elméletében. Szeretnénk megjegyezni, hogy a Debreceni Egyetemen is született néhány diadikus analízist és határterületeit érintő publikáció, de sajnos de sajnos ezek nem köthetőek olyan kutatócsoporthoz, amely témánkban dolgozik.